Anstelle aufwendiger Berechnungen der Kristallphase über die Bandstruktur wird zur Bestimmung
von als Funktion der Energie das
,,Zwei-Band-Modell der fast-freien Elektronen`` verwendet und an Bandstrukturrechnungen über ,
und angepaßt [MeA76, Kit88 ]
. Die Wellenfunktion im Kristall wird in diesem
Ansatz durch:
beschrieben; k ist der Wellenvektor der Elektronen und G ist der reziproke
Gittervektor des Kristalls. Für die Lösung der Eigenwertgleichung erhält
man folgende Säkulardeterminante:
Hierbei ist der erste Fourierkoeffzient des Kristallpotentials. Am
Zonenrand des Festkörpers entsteht eine Energielücke von ,
in der keine Zustände mit reellen Energien existieren. An
der Festkörperoberfläche hingegen gibt es in dieser Energielücke
Lösungen der Säkulargleichung
(2.19) mit reeller Energie.
Dazu separiert man k in (senkrecht zur Oberfläche) und ;
wird zu
gesetzt. q sorgt für einen exponentiellen Abfall der Wellenfunktion in den
Festkörper hinein, wodurch die
Zustände auf die Kristalloberfläche beschränkt werden. Im Fall des
Zonenzentrums mit und erhält man durch
Einsetzen in (2.19)[MeA76]:
Für die Wellenfunktion im Kristallinneren
in (2.18) ergibt sich also:
Setzt man den Koordinatenursprung (z = 0) in ein Oberflächenatom und
betrachtet eine Shockley-invertierte Bandlücke
, wie es für
die Co()-Oberfläche der Fall ist, dann ist und der
Wertebereich des Phasenparameters ist [].
Im Bereich wird die Wellenfunktion durch eine einlaufende und eine reflektierte, auslaufende, ebene Welle beschrieben:
Aus der Stetigkeitsbedingung der logarithmischen Ableitung der Kristallwellenfunktion
(2.22) und der Außenraumwellenfunktion
(2.23) an der Oberfläche (z=0) erhält man für
die Kristallphase die Beziehung [BoH67]:
Mit den Gleichungen (2.17) und (2.24) ist man jetzt in der Lage, beide Phasen als Funktionen der Energie zu beschreiben. Die Nebenbedingung (2.14) ergibt mit eine Energieserie von möglichen Oberflächenzuständen. Aufgrund der Ähnlichkeit des Bildkraftpotentials (2.16) mit dem Wasserstoffzentralpotential kommt es zu einer Rydberg-Serie, die gegen die Vakuumenergie konvergiert. Dabei werden die Oberflächenzustände in zwei Klassen eingeteilt. Die Energielage der kristallinduzierten Oberflächenzustände mit n=0 wird vom Phasensprung dominiert, während für die Energielagen der bildkraftinduzierten Oberflächenzustände mit n > 0 im wesentlichen der Phasensprung verantwortlich ist.